Le trasformazioni di Lorentz

     
 

La precedente trattazione ha mostrato che il principio di relatività della meccanica classica e la costanza della velocità della luce, come corollario dell’elettrodinamica, non sono conciliabili senza l’introduzione di nuovi parametri e di nuovi concetti.

La meccanica quantistica da oggi la possibilità di affrontare il problema in modo appropriato, ciò che non era possibile al tempo della pubblicazione del primo lavoro di Einstein ma che sarebbe stato possibile successivamente se Einstein non si fosse sempre rifiutato di considerare la quantomeccanica come nuova frontiera della fisica.

L’operazione che fa Einstein per risolvere è semplicemente quella di imporre la costanza della velocità della luce nei due sistemi di riferimento considerando la radiazione elettromagnetica come un qualsiasi corpo materiale dotato di massa e di energia cinetica.

Nel lavoro del 1905 infatti egli afferma:

 

Per fare questo utilizza le trasformazioni di Lorentz che egli ricava in diversi modi nei vari lavori da lui pubblicati nel corso degli anni.

Esse sono

x'= γ(x- vt t);      t'= γ(t- xvt/vL2);    in cui    γ2 = 1/ [(1- vt/vL) (1+ vt/vL)] = 1/[(1- vt2/vL2)]

se teniamo conto che nel sistema stazionario S vale la relazione x = vLt possiamo trasferire l’espressione t =  x/v nella prima e nella seconda relazione  per cui

x'= γ x (1- vt/vL)     t'= γ t (1- vt/vL)

con queste condizioni, cioè introducendo il termine γ come fattore di normalizzazione tra i due sistemi di riferimento, i valori della velocità della luce rimangono identicamente uguali perché

x'/ t' = [γ x (1- vt/vL)]/[ γ t (1- vt/vL)] = x/t

ed inoltre la forma di γ   assicura che per valori di vmolto minori di  vL ritornano valide le  trasformazioni galileiane.

Naturalmente rinormalizzare i sistemi di riferimento in modo da mantenere costante la velocità della luce all’interno di una trattazione classica della radiazione elettromagnetica  comporta una ridefinizione dei valori e dei concetti di spazio e tempo tali da vanificare ogni pretesa di conoscenza oggettiva su cui la scienza ha basato la propria validità.

La generale accettazione da parte del mondo scientifico della teoria della relatività è stata determinata in gran parte dal fatto che la velocità della luce non è in pratica raggiungibile da parte di nessun corpo in movimento  se non da  particelle elementari in grandi acceleratori e con enorme dispendio di energia, cioè come abbiamo accennato la teoria non è falsificabile. Tuttavia vedremo che la problematica che si presenta con la velocità della luce non ha niente a che vedere con il valore che tale velocità assume e che non compare mai nelle varie formule e si ripresenta anche per velocità molto minori che rimangono costanti nei vari sistemi di riferimento, come ad esempio nell’effetto Doppler acustico che vedremo nelle pagine seguenti.

In una delle diverse procedure che utilizza per ricavare le trasformazioni di Lorentz Einstein equipara direttamente le due espressioni che determinano la coordinata spaziale x nei due sistemi di riferimento.

Se utilizziamo il nostro formalismo vediamo che sostituisce nell’espressione  x' = x α- (eq. 3) (in cui l'osservatore è in S ) il valore di x' ricavato dall’espressione x = x' α+ (eq. 1) per cui

- = x /α+ da cui 1 = 1/( α+ * α-) => 1 = 1/( 1- vt2/vL2) = γ2

che compare nelle trasformazioni di Lorentz in cui il fattore di normalizzazione γ  rimane automaticamente soddisfatto, cioè γ=1 quando vt = 0 cioè quando il treno è fermo, evidenziando quindi una ulteriore contraddizione all’interno della teoria che vuole analizzare sistemi di riferimento in movimento relativo tra loro.

 

Se noi introduciamo questo fattore di normalizzazione nelle equazioni della trattazione del nostro problema, cioè dell’impulso laser che viaggia nei due treni analizzato da un osservatore sul sistema di riferimento in quiete S allora  sapendo che nel sistema S possiamo sempre scrivere x = vLt e quindi t= x/vL abbiamo

x'= γx(1- vt/vL)     t'= γt(1- vt/vL)

per cui se esprimiamo le coordinate delle estremità del treno in movimento rispetto al sistema S abbiamo

(x'B'-x'A') = γ(1- vt/vL)(xB-xA) = γα- (xB-xA)      (eq. 9)

da cui

(x'B'-x'A')/(xB-xA) = γ(1- vt/vL) = [(vL- vt)/(vL+ vt)]1/2

cioè la differenza tra le  due coppie di coordinate che rappresentano la lunghezza del treno nei due sistemi di riferimento non sono uguali ,per cui, come afferma Einstein, lo spazio nel sistema S' si accorcia rispetto al sistema S.

Se poniamo l’osservatore nel sistema S' per l’impulso laser che viaggia in S ; essendo in questo caso x'=vLt   avremo :

x = γ x'α+    per cui   (xB-xA) = γ α+ (x'B'-x'A')

cioè

(x'B'-x'A') = (xB-xA)/[ γ α+ ]     (eq. 10)

uguagliando (eq. 9)  con (eq. 10) abbiamo

γ α- = 1/[ γ α+]

che rimane completamente soddisfatto dimostrando che le trasformazioni di Lorentz soddisfano oltre la costanza della velocità della luce anche il principio di relatività.

Le trasformazioni di Lorentz, attraverso un processo di rinormalizzazione, soddisfano quindi pienamente il principio di relatività della meccanica classica ed il principio della costanza della velocità della luce, ma quello che si perde è il concetto fondamentale di osservabile che è la base su cui si fonda la speculazione scientifica e cioè che la lunghezza del treno non può dipendere dallo stato di quiete o di moto dell’osservatore e del suo sistema di riferimento ( scienza soggettiva) . La veridicità della scienza si basa quindi sulla oggettività del fenomeno fisico pur ammettendo che vi possa essere una difformità della rappresentazione matematica in funzione del sistema di riferimento adottato ed il sistema di riferimento adottato per tale rappresentazione viene spesso definito in funzione della semplicità matematica della descrizione pur non inficiando la natura del fenomeno ( es. coordinate sferiche ecc.)

Einstein nella sua teoria ha privilegiato una uniformità formale piuttosto che sostanziale e per salvaguardare il principio della costanza della velocità della luce, all’interno della meccanica classica, ha sacrificato il significato fisico di spazio e di tempo su cui si basa ogni concetto di velocità che di fatto è una grandezza derivata e non una grandezza fondamentale.

 

Una ulteriore  incongruenza della teoria della relatività risulta dal plot  del valore di x' nel caso classico e nel caso relativistico nella figura in cui è riportato anche il valore di di γ e (x'rel -x'clas)  in funzione del rapporto v/vL .

Il valore classico è una linea retta che va da 1 a zero, nel caso in cui la velocità v sia uguale a vL, questo significa che se  il treno viaggiasse alla velocità della luce allora l’impulso laser ( cioè tutti i fotoni che lo costituiscono) sarebbero fermi rispetto al treno. Questa è una situazione che pur sembrando paradossale si verifica quando noi associamo un sistema di riferimento S' ad un impulso laser ed andiamo ad analizzare le velocità dei fotoni costituenti e le loro distanze relative. Se noi applichiamo le formule relativistiche ad una tale situazione avremmo che la distanza dei vari fotoni all’interno dell’impulso sarebbe infinita. Qualcuno potrebbe obbiettare che non vi è la possibilità pratica di andare a verificare una tale situazione, tuttavia la verifica può essere fatta al momento in cui l’impulso interagisce con la materia che rimane ferma nel sistema di riferimento del laboratorio per esempio facendo coincidere due impulsi laser su un cristallo generatore di seconda armonica.

Quello che non è spiegabile poi è l’andamento del valori di x' relativistico che all’inizio della curva diventa maggiore del classico (da notare che se x aumenta significa che la velocità v diminuisce come visto nell'esempio del treno in cui la velocità della luce sembrava diminuire) per poi cambiare andamento per valori di v/vL= 0.839 e poi andare a valori negativi in vicinanza di 1.

E’ evidente che tale andamento non ha nessun significato fisico e le trasformazioni di Lorentz si rivelano più un artifizio matematico che una legge fisica.

Nella precedente trattazione avevamo trovato che l’osservatore verde riceveva l’impulso laser riflesso dallo specchio alla testa del treno mobile dopo un tempo dato da

tA2A0 = tB1A0 + tA2B1= (R/vL) α+ + (R/vL) α- = tBA α+ + tBA α- = 2 tBA

assumendo la velocità della luce come costante universale e trattando il fotone come una semplice particella dotata di massa e di energia cinetica, cioè applicando alla radiazione elettromagnetica le stesse leggi della meccanica classica Einstein perviene alle relazioni:

 

che espresse nei termini da noi utilizzati risultano

tB1A0 = R/(vL - vt) = [R/vL] [vL/( vL - vt] = tBA-
tA2B1 = R/(vL + vt) = [R/vL] [vL/( vL + vt = tBA +

per cui

tA2A0 = tB1A0 + tA2B1= tBA [1/α- +1/α+] ) = tBA [(α-+)/(α- •α+)] = 2tBA γ2

per qualsiasi valore di vt diverso da zero si ha che il termine γ2>1 per cui si evidenzia una ulteriore contraddizione della  teoria della relatività ristretta che partendo dal postulato della costanza della velocità della luce arriva alla conclusione che la luce per fare un percorso di andata e ritorno sul treno in movimento impiega un tempo maggiore di quello che essa impiega sul treno fermo sulla banchina.

Le equazioni della meccanica classica non sono quindi in grado di spiegare la costanza della velocità della luce e la teoria della relatività ristretta di Einstein attraverso le trasformazioni di Lorentz rendono conto della costanza della velocità della luce ma stravolgono completamente i fondamenti della meccanica classica. La considerazione che la velocità della luce sia di fatto irrangiungibile ha minimizzato l’impatto di questa teoria ha avuto sulla comunità scientifica.

In realtà il valore di vL non è mai stato preso in considerazione nella teoria e la stessa problematica si trova inalterata anche  per velocità molto più basse, quali quelle della trasmissione del suono.