Il dualismo onda - particella

La fisica del XX secolo si è sviluppata prepotentemente all’insegna di questo binomio che ha costituito la chiave di volta su cui poggia l’intero edificio della meccanica quantistica che è alla base di tutte le maggiore scoperte del secolo scorso, dall’elettronica quantistica, la spettroscopia molecolare, la teoria dei laser, fino ad arrivare alla biologia molecolare ed alla genetica sperimentale.

L’interpretazione dell’effetto fotoelettrico fornita da Einstein e dell’emissione del corpo nero data da Planck hanno costituito la base ideale su cui si è sviluppata la meccanica quantistica in cui ad ogni particella elementare viene assegnata una natura  ondulatoria in modo del tutto analogo a quello utilizzato nell’assegnare una natura corpuscolare ad una onda elettromagnetica.

Nei capitoli precedenti abbiamo visto che la quantizzazione, responsabile dell’effetto fotoelettrico e dell’emissione del corpo nero, riguarda il processo di formazione dell’energia radiante più che il campo elettromagnetico a cui compete esclusivamente il trasporto di tale energia secondo le regole dell’elettromagnetismo classico.

La costanza della velocità della luce nel vuoto è quindi attribuibile alle caratteristiche del campo elettromagnetico più che alla natura corpuscolare della radiazione elettromagnetica.

La visione dell’universo che deriva da questa trattazione è quindi  completamente diversa da quella prospettata da Einstein nella sua teoria della relatività: in questa visione, la terra e gli altri pianeti, il sole e tutte le altre stelle sono immersi in un campo elettromagnetico conservativo determinato dalla distribuzione delle cariche  elettromagnetiche sia di elettroni spaiati con il loro momento di spin, sia di elettroni accoppiati con spin antiparallelo o dei nuclei, che sono parti costituenti di tutta la materia.

I fenomeni di emissione o di assorbimento della radiazione sono quindi collegati non alla entità del campo elettromagnetico nei vari punti dello spazio  ma alla sua variazione nel tempo determinata dai fenomeni naturali od artificiali. La formazione o la variazione di un dipolo in un atomo od in una molecola comportano quindi una polarizzazione del campo elettromagnetico e di conseguenza una polarizzazione delle nuvole elettroniche che costituiscono la materia. I campi elettromagnetici sono quindi generati dalla materia ma non coincidono con la materia per cui ci possono essere campi elettromagnetici anche in porzioni di spazio in cui è assente la materia cioè dove si assume che l’indice di rifrazione sia uguale ad uno. In porzioni di spazio in cui è presente materia di una certa densità, ad esempio un gas od un vetro, ci sarà un aumento dell’interazione con le nuvole elettroniche degli atomi o delle molecole per cui si avrà una diminuzione della velocità della luce.

La velocità della luce è quindi determinata dalla polarizzazione o dalla polarizzabilità degli elettroni che generano il campo stesso: nel vuoto essa raggiunge il valore massimo che è collegato con la velocità di spostamento degli elettroni e cioè con la loro massa inerziale.

Circuiti elettrici oscillanti determinano la formazione di dipoli elettromagnetici che generano onde elettromagnetiche, cioè di onde radio, che si propagano trasversalmente nello spazio, in questo caso la frequenza di vibrazione del dipolo è molto minore rispetto alla luce visibile, ma la velocità di propagazione rimane la stessa perché è legata non al generatore di onde ma alla polarizzabilità del generatore del campo, cioè agli elettroni.

Ritorna così in campo il concetto di etere così caro a Maxwell e Lorentz e abbandonato più di cento anni fa. Naturalmente non si tratta di un etere materiale come quello postulato da Cartesio, cioè di un cielo, od atmosfera, che si muove con il nostro mondo come gli altri cieli si muovono con il loro mondo ma di un campo conservativo, analogo al campo gravitazionale, generato anche esso dalla materia e che si muove con il nostro pianeta e con la nostra galassia.

Le leggi dell’elettrodinamica classica, di cui la costanza della velocità della luce nel vuoto è un elemento basilare, si occupa quindi delle modalità del trasporto di questi quanti di energia a cui non è associata nessuna massa e nessuna velocità propria ma solo di un vettore di propagazione perpendicolare ai vettori di oscillazione del campo elettrico e del campo magnetico senza nessuna necessità di orologi che rallentano o di regoli che si accorciano.

La questione che ora sorge è di vedere se abbandonando il postulato della natura corpuscolare della radiazione, siamo costretti ad abbandonare il postulato della natura ondulatoria delle particelle elementari, cioè se siamo costretti ad abbandonare la meccanica quantistica.

La meccanica quantistica nello studiare un sistema isolato, si basa sull’invarianza dell’energia del sistema in totale accordo con l’effetto Doppler  contrariamente alla teoria di Einstein della relatività ristretta che poneva come costante universale, cioè come invariante, la velocità della luce  intesa come somma di particelle ( fotoni) dotate di massa e velocità propria.

Rinunciando ad una trattazione deterministica (e quindi classica) in base al principio di indeterminazione di Heisenberg che prevede l’impossibilità per una particella elementare di procedere ad una misurazione della posizione senza alterarne l’energia, la meccanica quantistica indica con precisione i valori di energia possibili di un certo stato atomico limitandosi ad indicare, tramite la funzione d’onda, solo la probabilità di trovare la particella, ad esempio l’elettrone, in una data zona dello spazio.

Viene quindi abbandonata una trattazione deterministica per passare ad una trattazione probabilistica correlata al quadrato delle funzioni d’onda possibili per un certo sistema atomico o molecolare. La natura ondulatoria di una particella è legata quindi alla trattazione probabilistica delle equazioni del moto.

Una delle prove portate a convalida della teoria della relatività ristretta è la misura effettuata nel lavoro di carattere didattico di W. Bertozzi all MIT nel 1963-64.

La curva a losanghe blu è il calcolo del rapporto (v/c)² con la formula classica dell’energia cinetica tenendo conto che K = V*e in cui V  è il voltaggio applicato alle piastre di accelerazione dell’elettrone ed e è la carica dell’elettrone

la curva a quadrati vuoti è calcolata con la formula relativistica di Einstein

I quadrati gialli sono i valori sperimentali che come si vede sono ben fittati dalla curva relativistica.

I pallini marroni che hanno lo stesso andamento della curva relativistica anche se fittano meno bene i dati sperimentali sono ottenuti da una nuova relazione di tipo classico in cui si tiene conto del fatto che l’elettrone in movimento provoca una campo magnetico indotto che agisce in modo da annullare l’effetto del campo elettrico che provoca l’accelerazione dell’elettrone stesso. L’elettrone cioè si trova immerso in un campo elettromagnetico locale che agisce da schermo all’azione del campo elettrico agente.

L’intensità del campo elettromagnetico indotto che scherma in un certo qual modo la carica dell’elettrone è proporzionale alla variazione nel tempo del flusso del campo generato dall’elettrone in movimento; flusso che cambia con il quadrato della distanza infatti

E' = -L dΦ/dt

Possiamo quindi scrivere in queste condizioni che

K = Ee(1-v²/c²)

perché quando l’elettrone raggiunge la velocità della luce ( od è molto vicino) egli crea un campo magnetico che scherma totalmente o quasi la sua carica per cui cessa l’interazione elettrostatica e procede nel moto solo in virtù della legge di inerzia. Ne consegue quindi la relazione

Ee(1-v²/c²) = ½ mv²

Da cui si ricava

v²/c² = Ee/(Ee + ½ mc²) = E/(E+0.2558) MeV

che è la relazione plottata in figura.

Le discrepanze del fit potrebbero essere giustificate in termini strumentali, questo dimostra che il fenomeno osservato da Bertozzi può essere spiegato senza nessuna necessità di ricorrere alla teoria di Einstein della relatività ristretta affidandosi esclusivamente alla meccanica ed alla elettrodinamica classica.

Come si vede nella figura quì riportata il valore c/v trovato dalla teoria relativistica di Einstein è leggermente diverso da quello trovato da noi ma per basse ed alte energie le due curve coincidono.

Questa spiegazione giustifica anche il fatto che la velocità della luce è una velocità limite perché corrisponde alla massima velocità inerziale raggiungibile dalla particella di più piccole dimensioni oggi conosciuta e collega la velocità della luce alla velocità di spostamento inerziale dell’elettrone come avevamo ipotizzato in precedenza.

Rimane ancora da spiegare la relazione che de Broglie ha ricavato per via relativistica  e cioè

λ = h/p

in cui h è la costante di Planck, p = mv è il momento meccanico della particella e λ è la lunghezza d’onda dell’onda collegata alla particella.

Questa equazione è fondamentale per la spiegazione della diffrazione elettronica e dei neutroni, ed in generale per la definizione della meccanica quantistica, ma come vedremo essa può essere derivata indipendentemente dalla teoria della relatività.

Come punto di partenza possiamo considerare l’effetto fotoelettrico in cui l’energia cinetica dell’elettrone espulso E_c è uguale alla energia incidente della radiazione elettromagnetica  E_i meno una energia di soglia che è legata alle caratteristiche del materiale E_s e corrisponde alla transizione di un elettrone dalla sua orbita sino al livello di ionizzazione, per cui

E_c = E_i - E_s

ossia

E_c = ½ mv² = hν_i- hν_s = hν         con ν= ν_i – ν_s

ovvero

hν = ½ mv²

se immaginiamo un processo in cui  due elettroni vengono espulsi nella stessa direzione, cioè lungo la stessa linea ma con verso opposto allora abbiamo che

hν = ½ mv² + ½ mv² = mv²

una obbiezione potrebbe essere avanzata se consideriamo il fatto che per espellere due elettroni occorrono due fotoni e che è difficilmente realizzabile una dispositivo che emette due fotoni nella stessa direzione ma con verso opposto.

Questo non comporta nessuna difficoltà per il nostro discorso perché possiamo tirare in ballo il principio della conservazione del momento della quantità di moto, infatti la quantità di moto determinata dal processo di espulsione dell’elettrone in una certa direzione ed in certo verso  corrisponde una quantità di moto perfettamente uguale che provoca lo spostamento del supporto materiale su cui è fissato il materiale fotosensibile.

Dall’ espressione hν = mv² ricaviamo m=hν/v² ed ammettiamo, secondo l’ipotesi di de Broglie che tale espressione valga per qualsiasi onda:  quindi possiamo sostituire  m=hν/v² nell’espressione p = mv
ottenendo

p = hν v/v² = hν/v

ma noi sappiamo che per qualsiasi onda vale la relazione che v = λ ν per cui sostituendo nella precedente espression ν = v/λ si ha

p = hv/vλ

da cui

λ = h/p = h/mv

che è l’equazione di de Broglie ricavata indipendentemente dalla teoria della relatività e che rimane valica con tutte le sue implicazioni.

Nel caso degli elettroni abbiamo che λ =  √150/V

con V espresso in volts e λ in Angstrong. Nel caso di neutroni che hanno una massa 1836 volte quella dell'elettrone la relazione diventa

λ =  √ 150/(1836V).   

La teoria della relatività di Einstein non ha quindi nessuna rilevanza nella meccanica quantistica e ciò spiega forse il suo scetticismo nei confronti della quantomeccanica quando affermava “ Dio non gioca a dadi con l’universo”.