La velocità della luce

 

 

Agli inizi del XX secolo la teoria elettromagnetica della radiazione, che si era sviluppata indipendentemente dalla meccanica classica, aveva raggiunto la sua struttura definitiva formalizzata dalle equazioni di Maxwell-Lorentz che riaccorpavano le leggi fisiche precedentemente scoperte in una forma sintetica ed elegante.

Il pregio fondamentale di queste equazioni è quello di descrivere tutti i fenomeni elettromagnetici, compresa la luce, sulla base di due campi vettoriali (definiti dal vettore elettrico E e dal vettore magnetico H ciascuno dei quali è conservativo  (div E = 0 ; div H = 0 ) e correlati da matrici di trasformazione

rot E = - δ H/δt ;  e   rot H = 1/c δE/δt,

e con il corollario fondamentale  che la velocità della luce c= √(1/(ε0μ0) è una costante universale, indipendente dal sistema di riferimento e che quindi presuppone implicitamente la presenza di un “etere luminoso” che avrebbe avuto lo statuto di un sistema di riferimento assoluto.

Questa formulazione di Maxwell delle leggi dell’elettrodinamica obbedisce ancora una volta alla logica riduzionistica del metodo scientifico che purtroppo verrà persa dalla formulazione di Einstein fondata sulla covarianza piuttosto che sull’invarianza.

Nello stesso anno (1905)  in cui Einstein pubblica il suo primo articolo sulla teoria della relatività speciale dal titolo “On the Electrodynamics of Moving Bodies” pubblica anche un articolo in cui viene interpretato l’effetto fotoelettrico sulla base della teoria corpuscolare della radiazione elettromagnetica; interpretazione per il quale riceverà il premio Nobel nel 1921.

Su queste basi e sulla base dei risultati degli esperimenti di Michelson e Morely che sembravano escludere la presenza di qualsiasi “etere luminoso” Einstein inizia il suo lavoro di riscrittura della fisica con lo scopo di inquadrare l’elettrodinamica e la meccanica in un unico quadro gnoseologico che lo avrebbe portato alla demolizione della stessa struttura conoscitiva minando non solo il metodo scientifico ma i concetti fondamentali di spazio e tempo come variabili indipendenti che hanno da sempre costituito le basi fondamentali della conoscenza scientifica.

Vediamo allora come è possibile affrontare con la meccanica classica il problema della velocità della luce.

Immaginiamo che l’osservatore sul treno rosso sia munito di un laser pulsato che emette radiazione di colore rosso (λ = 630 nm) e l’osservatore sul treno verde, che possiamo considerare estremamente vicino, sia munito dello stesso tipo di laser ma di colore verde (ad es. λ = 500 nm = 20000 cm-1) poniamo i due passeggeri che prima camminavano alla testa dei rispettivi treni muniti di uno specchio total riflettente e vediamo come la velocità della luce viene espressa nei due sistemi di riferimento. I quattro individui, come nel caso precedente avranno quattro orologi perfettamente sincronizzati in precedenza nel punto A.

In questo caso quindi invece della velocità vp  del viaggiatore consideriamo la velocità vL della luce che è sicuramente molto maggiore della velocità del treno vt e quindi possiamo utilizzare la parte inferiore della fig.1.

a) Moto della luce esaminato dall'osservatore rosso nel sistema S in quiete rispetto alla banchina

Ammettiamo che nel punto A0 (coincidente con A) i due laser emettano contemporaneamente un impulso verso la testa del treno, L’osservatore rosso nel punto A ed il passeggero rosso nel punto B, alla testa del treno fermo, osserveranno l’arrivo dell’impulso rosso emesso in A al tempo

  tB - tA= tBA = R/vL

mentre entrambi osserveranno che l’impulso verde emesso in A0 arriverà nel punto B1 alla testa del treno verde dopo un tempo maggiore perché in questo caso la velocità della luce nel sistema S è costante e non si somma con la velocità del treno , tale tempo sarà quindi

tB1 - tA0 = tB1A0 = RB1A0/vL

in cui

RB1A0 = R + tBAvt = R + (R/vL ) vt = R(vL+vt)/vL = R (1+vt/vL)

ne consegue quindi che

tB1A0 = RB1A0/vL = tBA   α+   con    α+ = (1+ vt/vL)     (eq. 5)

cioè l'osservatore rosso in S vede che l'impulso verde per raggiungere la testa del treno verde impiega un tempo maggiore e percorre uno spazio x maggiore.

Ne consegue quindi che lo spazio (misurato in S )  percorso dall’impulso verde per raggiungere la testa del treno è dato da

x = x' α+    con   α+ = (1+vt/vL)     (eq.1b)

ma al contempo anche il tempo t è maggiore essendo

tB1A0  =  tBA α+

L’osservatore ed il passeggero rossi, misurano quindi  per l’impulso laser verde la stessa velocità che essi   misurano per l’impulso laser  rosso in quanto il maggiore spazio percorso dal raggio verde per raggiungere la testa del treno verde va  diviso per un tempo  maggiore impiegato dall'impulso verde.

I tempi misurati dagli individui verdi sono gli stessi di quelli misurati dagli individui rossi perché gli orologi sono sincroni ne consegue quindi che se gli individui verdi non fossero coscienti che il loro treno è in movimento, dividendo la lunghezza del treno per il tempo misurato avrebbero una misura della velocità della luce diversa da quella osservata dagli individui rossi e cioè in questo caso misurerebbero una velocità  vL- vt minore di vL .

La misura della velocità della luce effettuata da Olaf Romer si basa proprio sulla determinazione di questi tempi ( assoluti, come presupposto nella meccanica classica) in funzione della diversa distanza che intercorre tra la Terra ed il pianeta Giove nei vari periodi dell’anno come noto dai vari calcoli astronomici.

Ad ogni modo se i raggi laser dalla testa dei due  treni ritornano in coda con la stessa velocità di spostamento della luce vL nel punto A il raggio rosso che viene da B arriverà ad un tempo

tA   -   tB  =   tAB   =  R/vL

mentre sul treno verde in movimento nel punto A2 il raggio proveniente dal punto B1  arriverà dopo un tempo                  

tA2  -   tB1  =  tA2B1  =  RA2B1/vL

con

RA2B1 = R - tABvt = R-(R/vL)vt = R- Rvt/vL = R (1-vt/vL)

quindi

tA2B1 = RA2B1/vL = tABα-   con α- =  (1-vt/vL)

Abbiamo quindi che

tB1A0 = tBA α+ = (R/vL) (1+vt/vL) = (R/vL ) (vL+vt)/vL
tA2B1 = tAB α-  =  (R/vL)(1-vt/vL) =  (R/vL) (vL-vt)/vL

Sommando i due tempi abbiamo che

tA2A0 = 2R/vL

che è lo stesso risultato che osserviamo per il sistema di riferimento S.

In questa descrizione i due osservatori, rosso e verde, misurano , ciascuno nel proprio sistema di riferimento, una diversa velocità della luce, tuttavia, in un percorso di andata e ritorno della radiazione, come è quello che viene effettuato dalla luce in un interferometro di Michelson , gli spazi  totali percorsi dalla radiazione ed i relativi tempi sono uguali per entrambi i sistemi di riferimento e quindi l’esperimento effettuato da Michelson stesso non era in grado di dimostrare l’assenza dell’etere perché tale risultato è indipendente dal materiale dielettrico eventualmente presente.

Analogamente a quanto fatto per il moto dei passeggeri possiamo anche in questo caso generalizzare le formule trovate per la radiazione elettromagnetica se ad un istante t qualsiasi vogliamo vedere quale è la coordinata di ciascun impulso laser in relazione al proprio sistema di riferimento abbiamo che in S

x= vL t

mentre la coordinata x' è

x'= (vL-vt) t

perché il movimento del treno sposta a destra l’origine delle coordinate del sistema S' ed è come se la velocità della luce fosse minore.

Sostituendo t=x/vL  abbiamo

x'= xα-      (eq 5)

quando la luce ed il treno si spostano nello stesso senso e

x'= xα+      (eq 6)

quando si spostano nel senso opposto.

L’eq 5 mostra che che quando la velocità del treno e quella della luce sono concordi, ad  un dato istante t la coordinata x' dell’impulso verde nel sistema S' è minore della coordinata x dell’impulso verde in S che è data da (eq. 1b : x = x' α+ ) analogamente a quanto avviene per il moto del passeggero verde che e dato dalla (eq.1 : x = x' α+ ) vista precedentemente e cioè

x = x' α+      con α+ > 0 se vt > 0

Nell’ esempio precedente  abbiamo  preso in considerazione il tempo che impegna la luce ad arrivare alla testa del treno e ritornare indietro siccome all’andata il valore della coordinata x1' < x1 cioè l'impulso verde percorre meno spazio, allora risulterà che il tempo che impiega in S' sarà maggiore del tempo in S    ed il contrario avverrà per il tragitto di ritorno.

Ricapitolando quindi per il treno rosso nel sistema di riferimento S abbiamo

tB - tA = tBA = tAB = R/vL cioè tABA = 2R/vL

 mentre per il treno verde nel sistema di riferimento S'

tA2A0 = tB1A0 + tA2B1 = tAB α+ + tAB α- =2R/vL

cioè otteniamo lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Da quanto detto abbiamo quindi che quando gli impulsi laser viaggiano nella stessa direzione del treno allora il passeggero verde alla testa del treno e l'osservatore verde alla coda dividendo la lunghezza del treno R per il tempo trascorso tra la partenza e l'arrivo dell'impulso laser verde, misurano una velocità della luce che è minore  di vLmentre nel tragitto di ritorno, cioè quando l'impulso riflesso dallo specchio alla testa del treno ritorna in coda, misurano una velocità della luce che è maggiore di vL.

 b) Moto della luce esaminato dall'osservatore verde nel sistema S' in movimento rispetto alla banchina

Se noi facciamo lo stesso discorso partendo dall’osservatore verde sul treno ed analizzando la posizione ed i tempi del laser rosso avremo

x'= vL t

perché ammettiamo che nel sistema S' la velocità della luce sia vL  e quindi

x = (vL + vt) t

perché lo spazio che separa l’impulso rosso dall’osservatore verde che è all’origine del sistema S'   sarà vLt che è lo spazio percorso dall’impulso rosso nel sistema S meno vtt che è lo spazio percorso dal treno verde   e sostituendo t=x'/vL  abbiamo

x = x' α+    (eq. 7)

quando la luce ed il treno si spostano nello tesso senso e

x = x' α-    (eq 8)

quando si spostano nel senso opposto.